Números perfectos
Un Número Perfecto es un Número Entero donde la suma de los divisores propios del Número junto con el Número 1 es igual al propio Número.
Ejemplos
El Número Perfecto más pequeño es 6. Sus divisores propios son 2 y 3. Si los sumamos con 1, obtenemos 6:
$$ 1 + 2 + 3 = 6 $$
El siguiente Número Perfecto es 28:
$$ 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 $$
Los siguientes Números Perfectos conocidos son 496 y 8128.
Todavía no se sabe si existen Números Perfectos impares, y muchos creen que no existen.
Divisores
Cuando hablamos de los divisores propios de un Número, nos referimos a todos los Números por los que se puede dividir y obtener un Número Entero.
Aparte de 1 y del propio Número. Estos se llaman divisores triviales.
Si tomamos el Número 12, se puede dividir por 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
- 1 y 12 son divisores triviales
- 2, 3, 4 y 6 son divisores propios
Los Números Primos no tienen divisores propios, ya que solo pueden dividirse entre 1 y ellos mismos.
Números Imperfectos
Si la suma de los divisores propios de un Número es menor que el propio Número, se llama deficiente.
Si la suma de los divisores es mayor que el propio Número, se llama un Número abundante.
Por ejemplo, el Número 15 es deficiente porque:
$$ \large 1+3+5=9 \;\text{ y }\; 9\lt 15 $$
El Número 20 es abundante porque:
$$ \large 1+2+4+5+10=22 \;\text{ y }\; 22\gt 20 $$
Los Números más deficientes son los Números Primos, ya que no tienen divisores propios y la suma es siempre 1.
El primer Número Abundante impar es 945.
Importancia matemática
Los Números Perfectos ya se estudiaban en la antigüedad.
Euclides mostró que si \(\, \large 2^p - 1\) es un Número Primo (un llamado Primo de Mersenne), entonces \(\, \large 2^{p-1}(2^p - 1)\) es un Número Perfecto.
Todos los Números Perfectos conocidos son de esta forma, y todos son pares.