Números binarios

Los números binarios son un sistema numérico con base 2. En el sistema binario solo existen dos cifras: 0 y 1.

 

Cada cifra en un número binario tiene un valor posicional, que es una potencia de 2.

De derecha a izquierda los valores posicionales son \(2^0, 2^1, 2^2, 2^3, \ldots\).

 

$$ \large 10101_2 = 1\cdot2^4 + 0\cdot2^3 + 1\cdot2^2 + 0\cdot2^1 + 1\cdot2^0 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 21_{10} $$

 

De binario a decimal

Para convertir un número binario a decimal, se suman los valores posicionales donde hay un 1.

 

$$ \large 11001_2 = 1\cdot2^4 + 1\cdot2^3 + 0\cdot2^2 + 0\cdot2^1 + 1\cdot2^0 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25_{10} $$

 

De decimal a binario

Un método rápido es encontrar las potencias de 2 que suman el número. Se coloca 1 en las posiciones usadas y 0 en las demás.

 

Ejemplo: 37 en decimal puede escribirse como \(32 + 4 + 1\). Esto corresponde a \(2^5 + 2^2 + 2^0\).

 

$$ \large 37_{10} = 100101_2 $$

 

Aquí están los números del 0 al 15. Usamos 4 bits con ceros iniciales para mayor claridad.

 

Decimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Binario (4 bits)	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

 

 

Bits y bytes

Un bit es una sola cifra binaria (0 o 1). Un byte son 8 bits. El valor máximo en 8 bits es \(11111111_2\), que equivale a 255 en decimal.

 

$$ \large 11111111_2 = 2^7+2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2^1+2^0 = 128+64+32+16+8+4+2+1 = 255_{10} $$

 

 

Suma binaria

Las reglas para una columna son: \(0+0=0\), \(0+1=1\), \(1+0=1\), \(1+1=10\) (se escribe 0 y se lleva 1 a la siguiente columna).

 

Ejemplo:

 

$$ \large 1011_2 + 110_2 = 10001_2 $$

 

 

Resta binaria

Al restar números en binario, se usa el mismo método que en decimal. Si la cifra es demasiado pequeña, se toma prestado de la siguiente columna.

 

Ejemplo: \(1010_2 - 11_2\)

 

$$ \large 1010_2 - 0011_2 = 0111_2 $$

 

Aquí se toma prestado de la tercera columna, así que \(0 - 1\) se convierte en \(10 - 1 = 1\), etc. El resultado 0111 es 7 en decimal.

 

 

Multiplicación y división binaria

La multiplicación sigue la misma lógica que en decimal, pero solo se multiplica por 0 o 1. La división también sigue las mismas reglas que en decimal.

 

Ejemplo de multiplicación:

 

$$ \large 101_2 \cdot 11_2 = 1111_2 $$

 

Explicación: \(101_2 = 5_{10}\), \(11_2 = 3_{10}\). Así el resultado \(1111_2\) equivale a \(15_{10}\).

 

Ejemplo de división:

 

$$ \large 1100_2 \div 11_2 = 100_2 $$

 

Explicación: \(1100_2 = 12_{10}\), \(11_2 = 3_{10}\). El resultado \(100_2 = 4_{10}\).

 

 

Patrones típicos

Un número binario que consiste solo en 1 equivale en decimal a la suma de una serie de potencias de 2.

 

$$ \large 1111_2 = 2^3+2^2+2^1+2^0 = 8+4+2+1 = 15_{10} $$

$$ \large 1000_2 = 2^3 = 8_{10} $$

 

 

Resumen

Los números binarios usan solo las cifras 0 y 1, y cada posición representa una potencia de 2.

Se convierten usando los valores posicionales \(2^0, 2^1, 2^2, \ldots\), y se puede ir al revés descomponiendo el número decimal en potencias de 2.