Primtal

Primtal er alle hele Tal, der er større end 1, og som kun kan deles med 1 eller Tallet selv.

 

Eksempler på Primtal

De første Primtal er:

 

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 …

 

Læg mærke til, at 2 er det eneste lige Primtal, for alle andre lige Tal kan deles med 2 og er derfor sammensatte.

 

 

Sammensatte Tal

• Tallet 12 er ikke et Primtal, fordi det kan deles med 1, 2, 3, 4, 6, 12. Denne slags Tal kaldes for Sammensatte Tal.
• Tallet 13 er derimod et Primtal, for det kan kun deles med 1 og 13 (sig selv).

Et andet eksempel er 21, der ikke er et Primtal, fordi det kan deles med 3 og 7. Både 3 og 7 er Primtal og dermed Primfaktorer til 21.

 

 

Primfaktorisering

Alle Sammensatte Tal kan deles op i en række Primtal ganget med hinanden. Denne opdeling kaldes Primfaktorisering.

Feks. kan 40 opdeles i sine Primfaktorer:

 

\(\large 40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5 \)

 

Et andet eksempel er 84:

 

\(\large 84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \)

 

Man kan derfor sige, at Primtal er byggestenene til alle de Naturlige Tal.

 

 

Det fundamentale aritmetiske teorem

Ethvert positivt helt Tal større end 1, kan enten selv være et Primtal eller skrives entydigt som et produkt af Primtal.

Dette kaldes for det fundamentale aritmetiske teorem og er en af grundpillerne i Talteorien.

 

 

Hvordan tester man for Primtal?

For at undersøge om et Tal er et Primtal, behøver man kun at teste division med mindre Primtal op til kvadratroden af Tallet.

Feks. for at tjekke om 29 er et Primtal, skal vi kun teste division med Primtallene 2, 3 og 5, fordi \(\large \sqrt{29} \approx 5,38\). Ingen af dem går op i 29, så 29 er et Primtal.

 

 

Særlige typer Primtal

Matematikere har givet navne til forskellige typer af Primtal:

• Tvillingeprimtal: To Primtal med forskellen 2, feks. 11 og 13.
• Mersenne-Primtal: På formen \(\large 2^p - 1\), hvor \(\large p\) selv er et Primtal, feks. \(\large 2^3 - 1 = 7\).

 

 

Primtal gennem historien og i dag

Primtal har været studeret siden oldtiden. Den græske matematiker Euklid viste for over 2000 år siden, at der findes uendeligt mange Primtal.

I dag spiller Primtal en central rolle i moderne teknologi. Store Primtal bruges feks. til at kryptere data og sikre kommunikation på internettet (RSA-kryptering).