Fuldkomne tal

Et fuldkomment tal er et heltal, hvor summen af tallets ægte divisorer samt tallet 1, er lig med tallet selv.

Det mindste fuldkomne tal er 6. Dets ægte divisorer er 2 og 3. Hvis man lægger dem sammen med 1, får man 6:

$$ 1 + 2 + 3 = 6 $$

Det næste fuldkomne tal er 28:

$$ 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 $$

De næste kendte fuldkomne tal er 496 og 8128.

Man kender endnu ikke til nogen ulige fuldkomne tal, og mange mener, at de ikke findes.

Når man taler om et tals ægte divisorer, så er det alle de tal, som man kan dele med, hvor resultatet bliver et helt tal.

Bortset fra 1 og tallet selv. Disse kaldes trivielle divisorer.

Hvis vi tager tallet 12, så kan det deles med 1, 2, 3, 4, 6 og 12.

Primtal har ingen ægte divisorer, da de kun kan deles med 1 og sig selv.

Hvis summen af et tals ægte divisorer er mindre end tallet selv, kaldes tallet defektivt.

Hvis summen af divisorerne er større end tallet selv, er der tale om et excessivt tal.

For eksempel er tallet 15 defektivt, fordi:

$$ \large 1+3+5=9 \;\text{ og }\; 9\lt 15 $$

Tallet 20 er excessivt, fordi:

$$ \large 1+2+4+5+10=22 \;\text{ og }\; 22\gt 20 $$

De mest defektive tal er primtal, da de ikke har nogen ægte divisorer, og summen derfor altid er 1.

Det første ulige excessive tal er 945.

Allerede i oldtiden blev fuldkomne tal studeret.

Euklid viste, at hvis $\, \large 2^p - 1$ er et primtal (et såkaldt Mersenne primtal), så er $\, \large 2^{p-1}(2^p - 1)$ et fuldkomment tal.

Alle kendte fuldkomne tal er af denne form, og alle er lige.