Binære tal

Binære tal er et talsystem med grundtal 2. I det binære talsystem findes kun to cifre: 0 og 1.

 

Hvert ciffer i et binært tal har en pladsværdi, som er en potens af 2.

Fra højre mod venstre er pladsværdierne \(2^0, 2^1, 2^2, 2^3, \ldots\).

 

$$ \large 10101_2 = 1\cdot2^4 + 0\cdot2^3 + 1\cdot2^2 + 0\cdot2^1 + 1\cdot2^0 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 21_{10} $$

 

Fra binær til decimal

For at omsætte et binært tal til decimal lægger man pladsværdierne sammen for de steder, hvor der står 1.

 

$$ \large 11001_2 = 1\cdot2^4 + 1\cdot2^3 + 0\cdot2^2 + 0\cdot2^1 + 1\cdot2^0 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25_{10} $$

 

Fra decimal til binær

En hurtig metode er at finde de 2-potens’er, der tilsammen giver tallet. Sæt 1 ved de pladser du bruger, og 0 ved de andre.

 

Eksempel: 37 i decimal kan skrives som \(32 + 4 + 1\). Det svarer til \(2^5 + 2^2 + 2^0\).

 

$$ \large 37_{10} = 100101_2 $$

 

Her er tallene fra 0–15. Vi bruger 4 bit med foranstillede nuller for overblik.

 

Decimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Binær (4 bit)	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

 

 

Bits og bytes

En bit er ét binært ciffer (0 eller 1). En byte er 8 bit. Den største værdi på 8 bit er \(11111111_2\), som svarer til 255 i decimal.

 

$$ \large 11111111_2 = 2^7+2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2^1+2^0 = 128+64+32+16+8+4+2+1 = 255_{10} $$

 

 

Binær addition

Regnereglerne for én kolonne er: \(0+0=0\), \(0+1=1\), \(1+0=1\), \(1+1=10\) (skriv 0 og læg 1 til næste kolonne).

 

Eksempel:

 

$$ \large 1011_2 + 110_2 = 10001_2 $$

 

 

Binær subtraktion

Når man trækker tal fra hinanden i binær, bruger man samme metode som i decimal. Hvis cifferet ovenfor er for lille, må man låne fra den næste kolonne.

 

Eksempel: \(1010_2 - 11_2\)

 

$$ \large 1010_2 - 0011_2 = 0111_2 $$

 

Her låner vi fra den tredje kolonne, så \(0 - 1\) bliver til \(10 - 1 = 1\), osv. Resultatet 0111 er 7 i decimal.

 

 

Binær multiplikation og division

Multiplikation følger samme logik som i decimal, men man ganger kun med 0 eller 1. Division fungerer også efter de samme regler som i decimal.

 

Eksempel på multiplikation:

 

$$ \large 101_2 \cdot 11_2 = 1111_2 $$

 

Forklaring: \(101_2 = 5_{10}\), \(11_2 = 3_{10}\). Så resultatet \(1111_2\) svarer til \(15_{10}\).

 

Eksempel på division:

 

$$ \large 1100_2 \div 11_2 = 100_2 $$

 

Forklaring: \(1100_2 = 12_{10}\), \(11_2 = 3_{10}\). Resultatet \(100_2 = 4_{10}\).

 

 

Typiske mønstre

Et binært tal, der kun består af 1’ere, svarer i decimal til summen af en række 2-potens’er.

 

$$ \large 1111_2 = 2^3+2^2+2^1+2^0 = 8+4+2+1 = 15_{10} $$

$$ \large 1000_2 = 2^3 = 8_{10} $$

 

 

Opsummering

Binære tal bruger kun cifrene 0 og 1, og hver position vejer en potens af 2.

Du omsætter ved at bruge pladsværdierne \(2^0, 2^1, 2^2, \ldots\), og du kan gå den anden vej ved at bryde decimaltallet op i 2-potens’er.