Nombres premiers

Les Nombres Premiers sont tous les Nombres entiers supérieurs à 1 qui ne peuvent être divisés que par 1 ou par le Nombre lui même.

 

Exemples de Nombres Premiers

Les premiers Nombres Premiers sont :

 

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 …

 

Remarquez que 2 est le seul Nombre Premier pair, car tous les autres Nombres pairs peuvent être divisés par 2 et sont donc Composés.

 

 

Nombres Composés

• Le Nombre 12 n’est pas un Nombre Premier car il peut être divisé par 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ces types de Nombres sont appelés Nombres Composés.
• Le Nombre 13 en revanche est un Nombre Premier car il ne peut être divisé que par 1 et 13 (lui même).

Un autre exemple est 21, qui n’est pas un Nombre Premier car il peut être divisé par 3 et 7. 3 et 7 sont tous deux des Nombres Premiers et donc des Facteurs Premiers de 21.

 

 

Factorisation en Nombres Premiers

Tous les Nombres Composés peuvent être décomposés en une série de Nombres Premiers multipliés entre eux. Cette décomposition s’appelle Factorisation en Nombres Premiers.

Par exemple, 40 peut être décomposé en ses Facteurs Premiers :

 

\(\large 40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5 \)

 

Un autre exemple est 84 :

 

\(\large 84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \)

 

On peut donc dire que les Nombres Premiers sont les briques de construction de tous les Nombres Naturels.

 

 

Le Théorème Fondamental de l’Arithmétique

Tout Nombre entier positif supérieur à 1 est soit un Nombre Premier, soit peut s’écrire de manière unique comme un produit de Nombres Premiers.

Cela s’appelle le Théorème Fondamental de l’Arithmétique et c’est l’un des piliers de la Théorie des Nombres.

 

 

Comment tester un Nombre Premier ?

Pour vérifier si un Nombre est Premier, il suffit de tester la division par des Nombres Premiers plus petits jusqu’à la racine carrée du Nombre.

Par exemple, pour vérifier si 29 est un Nombre Premier, nous devons seulement tester la division par les Nombres Premiers 2, 3 et 5, car \(\large \sqrt{29} \approx 5,38\). Aucun d’entre eux ne divise 29, donc 29 est un Nombre Premier.

 

 

Types spéciaux de Nombres Premiers

Les mathématiciens ont donné des noms à différents types de Nombres Premiers :

• Nombres Premiers Jumeaux : Deux Nombres Premiers avec une différence de 2, par exemple 11 et 13.
• Nombres Premiers de Mersenne : De la forme \(\large 2^p - 1\), où \(\large p\) est lui même un Nombre Premier, par exemple \(\large 2^3 - 1 = 7\).

 

 

Les Nombres Premiers dans l’histoire et aujourd’hui

Les Nombres Premiers sont étudiés depuis l’Antiquité. Le mathématicien grec Euclide a montré il y a plus de 2000 ans qu’il existe une infinité de Nombres Premiers.

Aujourd’hui, les Nombres Premiers jouent un rôle central dans la technologie moderne. De grands Nombres Premiers sont par exemple utilisés pour chiffrer les données et sécuriser la communication sur Internet (chiffrement RSA).