Nombres binaires

Les nombres binaires sont un système de numération en base 2. Dans le système binaire il n’existe que deux chiffres : 0 et 1.

 

Chaque chiffre dans un nombre binaire a une valeur de position, qui est une puissance de 2.

De droite à gauche les valeurs de position sont \(2^0, 2^1, 2^2, 2^3, \ldots\).

 

$$ \large 10101_2 = 1\cdot2^4 + 0\cdot2^3 + 1\cdot2^2 + 0\cdot2^1 + 1\cdot2^0 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 21_{10} $$

 

Du binaire au décimal

Pour convertir un nombre binaire en décimal, on additionne les valeurs de position là où il y a un 1.

 

$$ \large 11001_2 = 1\cdot2^4 + 1\cdot2^3 + 0\cdot2^2 + 0\cdot2^1 + 1\cdot2^0 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25_{10} $$

 

Du décimal au binaire

Une méthode rapide consiste à trouver les puissances de 2 qui donnent le nombre. On met 1 dans les positions utilisées et 0 dans les autres.

 

Exemple : 37 en décimal peut s’écrire \(32 + 4 + 1\). Cela correspond à \(2^5 + 2^2 + 2^0\).

 

$$ \large 37_{10} = 100101_2 $$

 

Voici les nombres de 0 à 15. Nous utilisons 4 bits avec des zéros initiaux pour plus de clarté.

 

Décimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Binaire (4 bits)	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

 

 

Bits et octets

Un bit est un seul chiffre binaire (0 ou 1). Un octet est 8 bits. La valeur maximale sur 8 bits est \(11111111_2\), ce qui équivaut à 255 en décimal.

 

$$ \large 11111111_2 = 2^7+2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2^1+2^0 = 128+64+32+16+8+4+2+1 = 255_{10} $$

 

 

Addition binaire

Les règles pour une colonne sont : \(0+0=0\), \(0+1=1\), \(1+0=1\), \(1+1=10\) (on écrit 0 et on reporte 1 à la colonne suivante).

 

Exemple :

 

$$ \large 1011_2 + 110_2 = 10001_2 $$

 

 

Soustraction binaire

Lorsqu’on soustrait des nombres en binaire, on utilise la même méthode qu’en décimal. Si le chiffre est trop petit, on emprunte à la colonne suivante.

 

Exemple : \(1010_2 - 11_2\)

 

$$ \large 1010_2 - 0011_2 = 0111_2 $$

 

Ici on emprunte à la troisième colonne, donc \(0 - 1\) devient \(10 - 1 = 1\), etc. Le résultat 0111 est 7 en décimal.

 

 

Multiplication et division binaires

La multiplication suit la même logique qu’en décimal, mais on multiplie seulement par 0 ou 1. La division suit également les mêmes règles qu’en décimal.

 

Exemple de multiplication :

 

$$ \large 101_2 \cdot 11_2 = 1111_2 $$

 

Explication : \(101_2 = 5_{10}\), \(11_2 = 3_{10}\). Donc le résultat \(1111_2\) équivaut à \(15_{10}\).

 

Exemple de division :

 

$$ \large 1100_2 \div 11_2 = 100_2 $$

 

Explication : \(1100_2 = 12_{10}\), \(11_2 = 3_{10}\). Le résultat \(100_2 = 4_{10}\).

 

 

Motifs typiques

Un nombre binaire composé uniquement de 1 correspond en décimal à la somme d’une série de puissances de 2.

 

$$ \large 1111_2 = 2^3+2^2+2^1+2^0 = 8+4+2+1 = 15_{10} $$

$$ \large 1000_2 = 2^3 = 8_{10} $$

 

 

Résumé

Les nombres binaires utilisent seulement les chiffres 0 et 1, et chaque position représente une puissance de 2.

On convertit en utilisant les valeurs de position \(2^0, 2^1, 2^2, \ldots\), et on peut faire l’inverse en décomposant le nombre décimal en puissances de 2.