Nombres parfaits

Un Nombre Parfait est un Nombre Entier où la somme des diviseurs propres du Nombre ainsi que le Nombre 1 est égale au Nombre lui-même.

 

Exemples

Le plus petit Nombre Parfait est 6. Ses diviseurs propres sont 2 et 3. Si on les additionne avec 1, on obtient 6 :

 

$$ 1 + 2 + 3 = 6 $$

 

Le Nombre Parfait suivant est 28 :

 

$$ 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 $$

 

Les Nombres Parfaits suivants connus sont 496 et 8128.

On ne sait toujours pas si des Nombres Parfaits impairs existent, et beaucoup pensent qu’ils n’existent pas.

 

 

Diviseurs

Quand on parle des diviseurs propres d’un Nombre, on entend tous les Nombres par lesquels on peut le diviser avec un résultat entier.

À part 1 et le Nombre lui-même. Ceux-ci s’appellent des diviseurs triviaux.

Si nous prenons le Nombre 12, il peut être divisé par 1, 2, 3, 4, 6 et 12.

 

• 1 et 12 sont des diviseurs triviaux
• 2, 3, 4 et 6 sont des diviseurs propres

 

Les Nombres Premiers n’ont pas de diviseurs propres, puisqu’ils ne peuvent être divisés que par 1 et eux-mêmes.

 

 

Nombres Imparfaits

Si la somme des diviseurs propres d’un Nombre est inférieure au Nombre lui-même, on l’appelle déficient.

Si la somme des diviseurs est supérieure au Nombre lui-même, c’est un Nombre abondant.

 

Par exemple, le Nombre 15 est déficient car :

 

$$ \large 1+3+5=9 \;\text{ et }\; 9\lt 15 $$

 

Le Nombre 20 est abondant car :

 

$$ \large 1+2+4+5+10=22 \;\text{ et }\; 22\gt 20 $$

 

Les Nombres les plus déficients sont les Nombres Premiers, puisqu’ils n’ont pas de diviseurs propres et que la somme est donc toujours 1.

Le premier Nombre Abondant impair est 945.

 

 

Importance mathématique

Les Nombres Parfaits étaient déjà étudiés dans l’Antiquité.

Euclide a montré que si \(\, \large 2^p - 1\) est un Nombre Premier (un soi-disant Nombre Premier de Mersenne), alors \(\, \large 2^{p-1}(2^p - 1)\) est un Nombre Parfait.

 

Tous les Nombres Parfaits connus sont de cette forme, et tous sont pairs.