Vollkommene Zahlen
Eine Vollkommene Zahl ist eine Ganze Zahl, bei der die Summe ihrer echten Teiler zusammen mit der Zahl 1 gleich der Zahl selbst ist.
Beispiele
Die kleinste Vollkommene Zahl ist 6. Ihre echten Teiler sind 2 und 3. Addiert man sie mit 1, erhält man 6:
$$ 1 + 2 + 3 = 6 $$
Die nächste Vollkommene Zahl ist 28:
$$ 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 $$
Die nächsten bekannten Vollkommenen Zahlen sind 496 und 8128.
Es ist noch unbekannt, ob es ungerade Vollkommene Zahlen gibt, und viele glauben, dass es sie nicht gibt.
Teiler
Wenn man von den echten Teilern einer Zahl spricht, meint man alle Zahlen, durch die man sie teilen kann, sodass das Ergebnis eine Ganze Zahl ist.
Außer 1 und der Zahl selbst. Diese werden triviale Teiler genannt.
Nehmen wir die Zahl 12, so kann sie durch 1, 2, 3, 4, 6 und 12 geteilt werden.
- 1 und 12 sind triviale Teiler
- 2, 3, 4 und 6 sind echte Teiler
Primzahlen haben keine echten Teiler, da sie nur durch 1 und sich selbst teilbar sind.
Unvollkommene Zahlen
Wenn die Summe der echten Teiler einer Zahl kleiner ist als die Zahl selbst, heißt sie defizient.
Wenn die Summe der Teiler größer ist als die Zahl selbst, spricht man von einer überreichlichen Zahl.
Zum Beispiel ist die Zahl 15 defizient, weil:
$$ \large 1+3+5=9 \;\text{ und }\; 9\lt 15 $$
Die Zahl 20 ist überreichlich, weil:
$$ \large 1+2+4+5+10=22 \;\text{ und }\; 22\gt 20 $$
Die am meisten defizienten Zahlen sind die Primzahlen, da sie keine echten Teiler haben und die Summe daher immer 1 ist.
Die erste ungerade überreichliche Zahl ist 945.
Mathematische Bedeutung
Vollkommene Zahlen wurden schon in der Antike untersucht.
Euklid zeigte, dass wenn \(\, \large 2^p - 1\) eine Primzahl ist (eine sogenannte Mersenne Primzahl), dann ist \(\, \large 2^{p-1}(2^p - 1)\) eine Vollkommene Zahl.
Alle bekannten Vollkommenen Zahlen sind von dieser Form, und alle sind gerade.