Binärzahlen

Binärzahlen sind ein Zahlensystem mit der Basis 2. Im Binärsystem gibt es nur zwei Ziffern: 0 und 1.

 

Jede Ziffer in einer Binärzahl hat einen Stellenwert, der eine Potenz von 2 ist.

Von rechts nach links sind die Stellenwerte \(2^0, 2^1, 2^2, 2^3, \ldots\).

 

$$ \large 10101_2 = 1\cdot2^4 + 0\cdot2^3 + 1\cdot2^2 + 0\cdot2^1 + 1\cdot2^0 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 21_{10} $$

 

Von Binär zu Dezimal

Um eine Binärzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, addiert man die Stellenwerte, an denen eine 1 steht.

 

$$ \large 11001_2 = 1\cdot2^4 + 1\cdot2^3 + 0\cdot2^2 + 0\cdot2^1 + 1\cdot2^0 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25_{10} $$

 

Von Dezimal zu Binär

Eine schnelle Methode besteht darin, die Zweierpotenzen zu finden, die die Zahl ergeben. Man setzt 1 an den verwendeten Stellen und 0 an die anderen.

 

Beispiel: 37 im Dezimalsystem kann als \(32 + 4 + 1\) geschrieben werden. Das entspricht \(2^5 + 2^2 + 2^0\).

 

$$ \large 37_{10} = 100101_2 $$

 

Hier sind die Zahlen von 0–15. Wir verwenden 4 Bits mit führenden Nullen für die Übersicht.

 

Dezimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Binär (4 Bit)	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

 

 

Bits und Bytes

Ein Bit ist eine einzelne Binärziffer (0 oder 1). Ein Byte besteht aus 8 Bit. Der größte Wert auf 8 Bit ist \(11111111_2\), was 255 im Dezimalsystem entspricht.

 

$$ \large 11111111_2 = 2^7+2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2^1+2^0 = 128+64+32+16+8+4+2+1 = 255_{10} $$

 

 

Binäre Addition

Die Regeln für eine Spalte sind: \(0+0=0\), \(0+1=1\), \(1+0=1\), \(1+1=10\) (man schreibt 0 und übernimmt 1 in die nächste Spalte).

 

Beispiel:

 

$$ \large 1011_2 + 110_2 = 10001_2 $$

 

 

Binäre Subtraktion

Beim Subtrahieren von Binärzahlen verwendet man dieselbe Methode wie im Dezimalsystem. Ist die Ziffer zu klein, leiht man sich von der nächsten Spalte.

 

Beispiel: \(1010_2 - 11_2\)

 

$$ \large 1010_2 - 0011_2 = 0111_2 $$

 

Hier leiht man sich von der dritten Spalte, also wird \(0 - 1\) zu \(10 - 1 = 1\), usw. Das Ergebnis 0111 ist 7 im Dezimalsystem.

 

 

Binäre Multiplikation und Division

Die Multiplikation folgt derselben Logik wie im Dezimalsystem, jedoch multipliziert man nur mit 0 oder 1. Auch die Division folgt denselben Regeln wie im Dezimalsystem.

 

Beispiel für Multiplikation:

 

$$ \large 101_2 \cdot 11_2 = 1111_2 $$

 

Erklärung: \(101_2 = 5_{10}\), \(11_2 = 3_{10}\). Also entspricht das Ergebnis \(1111_2\) dem Wert \(15_{10}\).

 

Beispiel für Division:

 

$$ \large 1100_2 \div 11_2 = 100_2 $$

 

Erklärung: \(1100_2 = 12_{10}\), \(11_2 = 3_{10}\). Das Ergebnis \(100_2 = 4_{10}\).

 

 

Typische Muster

Eine Binärzahl, die nur aus 1 besteht, entspricht im Dezimalsystem der Summe einer Reihe von Zweierpotenzen.

 

$$ \large 1111_2 = 2^3+2^2+2^1+2^0 = 8+4+2+1 = 15_{10} $$

$$ \large 1000_2 = 2^3 = 8_{10} $$

 

 

Zusammenfassung

Binärzahlen verwenden nur die Ziffern 0 und 1, und jede Position entspricht einer Potenz von 2.

Man wandelt um, indem man die Stellenwerte \(2^0, 2^1, 2^2, \ldots\) benutzt, und umgekehrt, indem man die Dezimalzahl in Zweierpotenzen zerlegt.