Primzahlen

Primzahlen sind alle ganzen Zahlen größer als 1, die nur durch 1 oder durch die Zahl selbst teilbar sind.

 

Beispiele für Primzahlen

Die ersten Primzahlen sind:

 

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 …

 

Beachte, dass 2 die einzige gerade Primzahl ist, denn alle anderen geraden Zahlen können durch 2 geteilt werden und sind daher zusammengesetzt.

 

 

Zusammengesetzte Zahlen

• Die Zahl 12 ist keine Primzahl, weil sie durch 1, 2, 3, 4, 6, 12 teilbar ist. Diese Art von Zahlen nennt man Zusammengesetzte Zahlen.
• Die Zahl 13 ist dagegen eine Primzahl, weil sie nur durch 1 und 13 (sich selbst) teilbar ist.

Ein weiteres Beispiel ist 21, das keine Primzahl ist, weil es durch 3 und 7 teilbar ist. Sowohl 3 als auch 7 sind Primzahlen und damit Primfaktoren von 21.

 

 

Primfaktorzerlegung

Alle zusammengesetzten Zahlen können in eine Reihe von Primzahlen zerlegt werden, die miteinander multipliziert werden. Diese Zerlegung nennt man Primfaktorzerlegung.

Zum Beispiel kann 40 in seine Primfaktoren zerlegt werden:

 

\(\large 40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5 \)

 

Ein weiteres Beispiel ist 84:

 

\(\large 84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \)

 

Man kann also sagen, dass Primzahlen die Bausteine aller Natürlichen Zahlen sind.

 

 

Der Fundamentalsatz der Arithmetik

Jede positive ganze Zahl größer als 1 ist entweder selbst eine Primzahl oder kann eindeutig als Produkt von Primzahlen dargestellt werden.

Dies nennt man den Fundamentalsatz der Arithmetik und er ist einer der Grundpfeiler der Zahlentheorie.

 

 

Wie testet man auf Primzahlen?

Um zu prüfen, ob eine Zahl eine Primzahl ist, muss man nur die Teilbarkeit durch kleinere Primzahlen bis zur Quadratwurzel der Zahl testen.

Zum Beispiel: Um zu prüfen, ob 29 eine Primzahl ist, muss man nur die Teilbarkeit durch die Primzahlen 2, 3 und 5 testen, weil \(\large \sqrt{29} \approx 5,38\). Keine davon teilt 29, also ist 29 eine Primzahl.

 

 

Besondere Arten von Primzahlen

Mathematiker haben verschiedenen Arten von Primzahlen Namen gegeben:

• Zwillingsprimzahlen: Zwei Primzahlen mit der Differenz 2, zum Beispiel 11 und 13.
• Mersenne-Primzahlen: Von der Form \(\large 2^p - 1\), wobei \(\large p\) selbst eine Primzahl ist, zum Beispiel \(\large 2^3 - 1 = 7\).

 

 

Primzahlen in der Geschichte und heute

Primzahlen werden seit der Antike untersucht. Der griechische Mathematiker Euklid zeigte vor über 2000 Jahren, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Heute spielen Primzahlen eine zentrale Rolle in der modernen Technologie. Große Primzahlen werden zum Beispiel verwendet, um Daten zu verschlüsseln und die Kommunikation im Internet zu sichern (RSA-Verschlüsselung).