Fonctions fractionnaires

Une fonction fractionnaire est un synonyme d'une fonction rationnelle.

C’est-à-dire une fonction écrite comme:

$ \large f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $

Lorsqu’on analyse une fonction fractionnaire, on procède généralement dans cet ordre :

On détermine d’abord le domaine, puis les zéros, ensuite l’intersection avec l’axe des y et enfin les asymptotes.

Cela donne une description cohérente de la courbe.

Domaine :

Le domaine est l’ensemble de toutes les valeurs de x permises pour la fonction.

Pour une fonction fractionnaire, le domaine est l’ensemble des réels où $\large Q(x)\neq 0 $.

Si le numérateur et le dénominateur deviennent tous deux égaux à 0 pour la même valeur de x (facteur commun), le point est quand même exclu du domaine et apparaît comme un trou dans la courbe.

Si $\large Q(x)=0 $ mais $\large P(x)\neq 0 $, on obtient généralement une asymptote verticale.

Zéros :

La courbe a des zéros aux points où le numérateur est nul, à condition que le dénominateur ne soit pas également nul en ce point.

Intersection avec l’axe des y :

Elle se trouve en insérant $ \large x = 0 $, si cela appartient au domaine.

Asymptotes :

Les asymptotes verticales apparaissent généralement aux valeurs de $ \large x $ où le dénominateur est nul. Les asymptotes horizontales ou obliques se trouvent en comparant les degrés du numérateur et du dénominateur ou par division polynomiale.

Un exemple est la fonction :

$$ \large f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 4} $$

Fonction rationnelle avec plusieurs asymptotes verticales

Ici le numérateur est $ \large x^2 - 1 $, ce qui donne des zéros en $ \large x = 1 $ et $ \large x = -1 $.

Le dénominateur $ \large x^2 - 4 $ devient nul en $ \large x = -2 $ et $ \large x = 2 $, donc la fonction n’est pas définie là.

Le domaine est donc tous les réels $ \large x $ sauf $ \large -2 $ et $ \large 2 $. La courbe a des asymptotes verticales en $ \large x = -2 $ et $ \large x = 2 $.

Comme le degré du numérateur et du dénominateur est le même, on obtient une asymptote horizontale en $ \large y = 1 $. L’intersection avec l’axe des y se trouve en $ \large x = 0 $ : $ \large f(0) = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} $.

Avec cette méthode, on obtient une vue d’ensemble du comportement des fonctions fractionnaires.